Говорите и пишите по-русски правильно - Д. Э. Розэнталь 2016

Что скажет грамматика?
За цветами - и по грибы

Различие между синонимическими предложными сочетаниями может носить не смысловой, а стилистический характер.

Так, выражения идти по воду, ходить по грибы присущи просторечию (сравните нейтральные: идти за водой, ходить за грибами). Они могут использоваться в художественной литературе: Весной ходят девушки в рощу по ландыши, летом — по ягоды (В. Панова).

В синонимических сочетаниях по окончании спектакля — после окончания спектакля, по приезде в город — после приезда в город первый вариант в каждой паре имеет книжный характер.

В синонимических сочетаниях прошёл с километр — прошёл около километра, на выполнение работы понадобится с месяц — на выполнение работы понадобится около месяца первый вариант (в нём предлог с использован для приблизительного указания отрезка пространства или времени) имеет разговорный характер.

Сочетание чуть не умер с голоду употребляется исключительно в разговорной речи, а сочетание чуть не умер от голода — стилистически нейтральное.

Сочетание детей набралось около сотни — стилистически нейтральное, а синонимическое ему сочетание детей набралось до сотни имеет разговорный оттенок.

Сочетание стал болеть к старости — стилистически нейтральное, а стал болеть под старость — разговорное.

В синонимических сочетаниях эта роль для меня — эта роль по мне, для чего тебе эти вещи — на что тебе эти вещи первый вариант в каждой паре нейтральный, а второй — разговорный.

Оттенок официальности присущ сочетанию за подписью и печатью (сравните стилистически нейтральный оборот с подписью и печатью).

Канцелярский характер придаёт высказыванию широко распространённое необоснованное употребление предлога по: «ответ по этой жалобе» (вместо ...на эту жалобу); «соревнование по лучшей встрече» (вместо ...на лучшую встречу) и т.п.