Основы биохимической инженерии Часть 1 - Бейли Дж., Оллис Д. 1989
Кинетика процессов утилизации субстрата, образования продуктов метаболизма и биомассы в культурах клеток
Кинетика клеточного роста в переходном состоянии
Неструктурированные модели клеточного роста в периодических процессах
В простейшем подходе к моделированию роста культуры клеток в периодическом процессе мы допускаем, что скорость роста клеточной массы во времени является функцией одной лишь клеточной массы, т. е.
Как мы скоро увидим, из этого уравнения отнюдь не следует, что мы должны пренебрегать любыми изменениями, происходящими в ходе клеточного роста в среде.
Одной из простейших моделей типа (7.49) является закон Мальтуса, который математически можно выразить следующим образом:
f(x) = μx (7.50)
где μ — константа. Нетрудно видеть, что таким же образом выражается уже известная нам закономерность накопления клеточной массы в фазе экспоненциального роста. Предсказание Мальтуса о неизбежности рокового конца человечества в результате неконтролируемого роста народонаселения не оправдалось (или, быть может, пока еще не оправдалось?); так же и в случае популяций микроорганизмов вслед за фазой экспоненциального роста наблюдается переход к стационарной популяции.
РИС. 7.19. Логистическая кривая (ß > 0; ß > 0).
Эта теория получила дальнейшее развитие в работах Ферлхурста (1844 г.), а также Перла и Рида (1920 г.), которые при анализе роста популяции стали учитывать ингибирующий фактор. Допустив, что ингибирование пропорционально х2, эти исследователи предложили уравнение
Это выражение представляет собой уравнение Риккати; его интегрирование не представляет затруднений и приводит к уравнению логистической кривой:
Как показано на рис. 7.19, логистическая кривая имеет S-образную форму и приводит к стационарной популяции с максимальной концентрацией биомассы xs = 1/ß.
Одно из возможных объяснений логистической кривой сводится к допущению, что скорость продуцирования токсина про-
порциональна скорости роста популяции:
И если
сt( 0) = 0 (7.54)
то
ct = а(х — х0) (7.55)
Обычно х0 пренебрежимо мало по сравнению с х; в таких случаях подстановка уравнения (7.55) в (7.42) приводит к уравнению типа (7.51).
В основу неструктурированных моделей другого типа, описывающих приближающиеся к стационарному состоянию популяции, положен принцип истощения лимитирующего рост питательного вещества. Если, как и при выводе уравнения Моно, допустить, что μ = μ(s) и что общий экономический коэффициент Yх/s постоянен, то уравнения материального баланса для питательного вещества и клеточных веществ можно объединить в одном уравнении типа (7.49) (см. упражнение 7.14).
Недостатком логистического уравнения является пренебрежение фазой снижения массы (численности) популяции после того, как стационарная популяция исчерпала все свои ресурсы. Этот фактор учтен в модели, разработанной в начале этого столетия Вольтеррой. В модели Вольтерры уравнение (7.50) дополняется интегральным членом типа
Физический смысл выражения (7.56) в первом приближении можно интерпретировать как влияние истории популяции K(t,r) на скорость ее роста. Выражение (7.56) отражает зависимость скорости роста во-время t от всех предыдущих значений плотности популяции. Если К не зависит от t, то выражение (7.56) можно рассматривать как отражение влияния компонента культуры, изменение концентрации которого подчиняется закону
РИС. 7.20. Решение уравнения Вольтерры при различных значениях параметра λ, отражающего историю популяции клеток,
Предположим, что К постоянно и равно К0, и дополним уравнение (7.51) выражением (7.57), отражающим предыдущую историю популяции. Тогда изменение массы или плотности популяции во времени можно описать следующим уравнением
В соответствии с уравнением (7.58) Ко для ингибитора имеет отрицательное значение, а для соединения, промотирующего клеточный рост, — положительное. Это уравнение можно решить численно; пример такого решения приведен на рис. 7.20. При отрицательных К0 масса популяции достигает максимума и затем уменьшается.
Описанные выше неструктурированные модели клеточного роста имеют несколько недостатков. В частности, в них не находит отражения лаг-фаза, не учтены влияющие на рост клеток различные переменные, а также данные о метаболизме клетки и его регуляции. В последующих разделах мы попытаемся найти связи между сложной биохимией клетки и явлениями, наблюдаемыми при росте популяции в периодическом процессе.