Основы биохимической инженерии Часть 1 - Бейли Дж., Оллис Д. 1989

Кинетика процессов утилизации субстрата, образования продуктов метаболизма и биомассы в культурах клеток
Структурированные модели кинетики клеточного роста
Компартментальные модели

В простейших структурированных моделях предусматривается компартментация биомассы в небольшом числе компонентов. Иногда эти компоненты имеют приближенное биохимическое толкование, например синтетический компонент (РНК и предшественники) и структурный компонент (ДНК и белки). Компартменты могут быть также определены как ассимилирующий компонент и синтетический компонент. В другой интерпретации при создании простых компартментальиых моделей используется понятие об узких местах метаболизма.

Использование структурированных моделей с небольшим числом переменных оправданно также с точки зрения некоторых принципов динамики систем. Каждый тип реакций и транспортных явлений, осуществляющихся в популяции клеток (молекулярные соударения, химические реакции, диффузия, кругооборот РНК, синтез белков, увеличение числа клеток, завершение периодического процесса, спонтанные мутации), характеризуется своим временем релаксации, т. е. временем, необходимым для перехода в стационарное состояние после возмущения (вспомните разд. 3.1). Время релаксации может изменяться от долей секунды до нескольких часов. С точки зрения динамики систем в моделировании наиболее важна взаимосвязь между диапазоном времени, в течение которого совершаются изменения в среде (т_E), и спектром времен релаксации внутриклеточных процессов. Можно допустить, что клеточные процессы, характеризующиеся быстрой реакцией на изменения в среде (т. е. небольшой величиной отношения времени релаксации к т_E), находятся в квазистационарном состоянии (разд. 3.2.1). В другом крайнем случае, когда время релаксации некоторых клеточных процессов велико по сравнению с т_Е, эти клеточные процессы можно считать «замороженными» в начальном состоянии. Примером могут служить глубокие генетические изменения, которые практически никогда не осуществляются в ходе одного периодического процесса.

Установлено, что в случае многих сложных систем только два или три времени релаксации находятся в том же временном диапазоне, что и изменения в среде; этот факт еще раз подтверждает обоснованность приближенного описания динамики сложных систем с помощью упрощенной модели с двумя^- или тремя переменными. В то же время часто трудно или даже невозможно связать некоторые из этих переменных с измеряемыми физическими количественными характеристиками системы. Ниже мы рассмотрим некоторые примеры простых компартментальных кинетических моделей роста клеточной популяции.

Уильямс предложил двукомпартментальную модель, которая удивительно точно описывает некоторые стороны динамики клеточного роста в периодическом процессе [16]. Основные постулаты этой модели формулируются следующим образом:

1. Синтетический компонент (1) продуцируется в результате поглощения внешнего питательного вещества S с экономическим коэффициентом Y (отношение массы компонента 1 к массе субстрата). Реакция образования синтетического клеточного компонента имеет первый порядок по общей плотности клеток х (отношению клеточной массы к объему культуры) и по массовой концентрации питательного вещества (отношению массы субстрата к объему культуры).

2. Структурно-генетический компонент клетки (2) продуцируется из компонента 1 со скоростью, пропорциональной р₁р₂ (р_i — отношение массы і к единице объема клеток).

3. Для деления клетки необходимо и достаточно удвоение компонента 2. Следовательно, численная плотность клеток пропорциональна концентрации компонента 2 в культуре.

4. Биомасса построена только из компонентов 1 и 2.

Для реактора периодического действия при условии полного перемешивания эти же постулаты можно выразить в математической форме:

Принимая во внимание, что

μ = k₁s (7.72)

p₁ + p₂ = p_c = const (7.73)

уравнение (7.71) можно записать в следующей форме:

где f₂ = p₂/р_с представляет собой долю клеточной массы, состоящей из компонента 2. С помощью двух уравнений этой модели s можно выразить через х. Если таким путем преобразовать уравнение (7.69), то мы получим выражение, по форме совпадающее с уравнением (7.51). Следовательно, изменение х будет подчиняться логистическому уравнению типа (7.52).

Предложенный Уильямсом подход применялся для моделирования роста популяции клеток в периодическом процессе с использованием инокулята, находящегося в стационарной фазе в среде с истощенным питательным веществом, что соответствует р₁ = 0. Полученные таким путем результаты приведены на рис. 7.22; они хорошо воспроизводят некоторые часто наблюдаемые на практике особенности роста культур микроорганизмов в периодическом процессе, включая:

1. Лаг-фазу, в течение которой возрастают размеры клеток.

2. Фазу экспоненциального роста, в которой размер клеток достигает максимума.

РИС. 7.22. Моделирование роста популяции клеток с использованием инокулята, находящегося в стационарной фазе, по Уильямсу. Ординаты показывают изменение во времени безразмерных параметров: концентрации субстрата (s/s₀), концентрации биомассы (x/Ys₀), численности популяции (f₂x/Ys₀). Здесь отражено также изменение во времени относительной массы клетки (-1 + 1/f₂). (Параметры: k₁ = 0,0125; k₂рс = 0,025; Y = 0,5; x₀ = 0,05; s₀ = 1; f₂(0) = 1.)

3. Изменения в составе клеток в цикле роста. Поскольку такие изменения, очевидно, происходят даже в экспоненциальной фазе, отсюда следует, что рост клеток идеально не сбалансирован ни в одной из фаз роста.

4. Стационарную фазу с относительно небольшими клетками.

Обратите особое внимание на то, что изменения во времени плотности популяции по массе и по численности клеток непропорциональны; иными словами, масса индивидуальной клетки зависит от скорости роста и даже от предыстории скорости роста. Аналогичные результаты были получены в ходе детального изучения роста популяций Е. coli и 5. cerevisiae [30, 31]. Приведенные данные свидетельствуют о том, что динамику изменений клеточной массы часто можно описать с достаточно хорошим приближением относительно простыми математическими моделями; напротив, расчеты динамики численности популяции более сложны.

На рис. 7.23 схематично изображены некоторые модифицированные варианты описанной выше модели. В двухкомпартментальной модели Хардера и Роуэлса компонент G соответствует ферментам, которые катализируют превращение субстрата в промежуточные соединения, использующиеся при построении биополимеров; составные части клетки характеризуются компонентом К, который образуется из питательного вещества S со скоростью, зависящей от количества G [17]. В этой простой двухкомпонентной клетке взаимопревращение G и К путем полимеризации и деполимеризации отвечает состоянию метаболизма поддержания. Составные части трехкомпонентной клетки (рис. 7.23) характеризуются более четко определенной биохимической природой; здесь К обозначает РНК, G — белок, a R — другие компоненты биомассы [17]. В последнем случае метаболизм поддержания также отражен как кругооборот компонентов К и G.

По сравнению с некоторыми из рассматриваемых ниже более сложных структурированных моделей эти небольшие компартментальные модели относительно просты математически и содержат небольшое число кинетических параметров. Их с умеренным успехом применяли для описания различных состояний несбалансированного клеточного роста. С другой стороны, отсутствие в ряде случаев четкого биохимического определения компонентов затрудняет оценку модели и задачу нахождения параметров. При работе с такими моделями мы не можем воспользоваться известными нам данными о путях метаболизма клетки, регуляции молекулярных процессов и закономерностях клеточного цикла. Эти данные можно применять для моделирования кинетики клеточного роста, только располагая глубоко структурированной моделью клетки, в которой учитывалось бы значительно большее число компонентов, внутриклеточных реакций и взаимодействий.

РИС. 7.23. Схемы двух- и трехкомпартментальных моделей, описанных Хардером и Роуэлсом [17].