Умножение разности двух выражений на их сумму - РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ. СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ - ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

Цель: ознакомить с формулой для нахождения разности квадратов и ее применением.

Планируемые результаты: освоить умножение разности двух выражений на их сумму.

Тип уроков: урок-исследование, урок-практикум.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

1. Преобразуйте в квадрат двучлена трехчлен:

2. Докажите неравенство

Вариант 2

1. Преобразуйте в квадрат двучлена трехчлен:

2. Докажите неравенство

III. Работа по теме урока

Приведем еще одну формулу сокращенного умножения:

которая позволяет быстро умножать разность и сумму одних и тех же чисел а и b.

Выведем эту формулу.

Алгебраический способ

Умножим разность чисел а - b на их сумму а + b. Получаем

Геометрический способ

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке.

Стороны прямоугольника ABCD равны: АВ = а + b и AD = а - b (для определенности считаем, что а, b > 0 и а > b), и его площадь S = AD ∙ АВ = (а - b)(а + b). Этот прямоугольник состоит из прямоугольников AEND и EBCN. Прямоугольник EBCN равен прямоугольнику KLNF. Поэтому площадь S равна площади фигуры AENFKLD, которая равна разности площадей квадратов AEFG (со стороной а) и DLKG (со стороной b), т. е. S = а² - b². Приравняв два выражения для площади S, получаем равенство

В соответствии с тождеством (1) произведение разности чисел (выражений) и их суммы равно разности квадратов этих чисел (выражений). Тождество (1) широко используется при алгебраических преобразованиях выражений.

Пример 1

Перемножим числа 47 и 53, записав их в виде разности и суммы двух чисел: 47 = 50 - 3 и 53 = 50 + 3. Используя формулу (1), получаем

Пример 2

Сравним числа

Получаем

Тогда число А имеет следующий вид:

Изменим порядок умножения сомножителей, перемножив сначала два крайних числа, а затем два средних. Получаем

Используя формулу (1), имеем

Очевидно, что в таком произведении каждый множитель меньше числа 146², т. е. 146² - 5² < 146² и 146² - 2² < 146². Поэтому произведение меньше Таким образом, число А меньше числа В, т. е. А < В.

Пример 3

Перемножим выражения 4а – 5b и 4а + 5b.

Используя формулу (1) и правила действий со степенями, получаем

Пример 4

Представим в виде многочлена выражение (3а³ – 2b²)(3а³ + 2b²).

Используя формулу (1), получаем

Пример 5

Перемножим выражения -6а – 5b и 6а – 5b.

В первом выражении -6а – 5b вынесем за скобки число (-1) и получим

Заметим, что преобразование можно выполнить и сразу:

Пример 6

Упростим выражение

Раскроем скобки, а для первого произведения используем формулу (1). Получаем

IV. Задания на уроках

№ 854 (в, д), 855 (б, г), 857 (г), 858 (а), 859 (в, г), 861 (а, г, ж), 862 (в), 867 (б), 869 (а, д), 873 (а, д).

V. Контрольные вопросы

— Сформулируйте словами, как найти произведение разности и суммы двух выражений, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу произведения разности и суммы двух выражений алгебраическим способом.

— Выведите формулу произведения разности и суммы двух выражений геометрическим способом.

VI. Творческие задания

1. Выполните действия:

Ответы: а) 9991; б) 99 660 025; в) 999 600; г) 3⁸ - 1; д) 2¹⁶ - 1 (умножить выражение на 2 - 1 = 1); е) а⁸ – b⁸; ж) b⁸ - с⁸ (изменить порядок умножения); з) 2а⁴.)

2. Сравните числа:

(Ответ: первые числа меньше, чем вторые.)

VII. Подведение итогов уроков

Домашнее задание

№ 854 (б, е), 855 (в, д), 857 (д), 858 (б), 859 (ж, з), 861 (б, д, з), 862 (г), 867 (д), 869 (б, е), 873 (б, е).